اشتقاق الدوال المثلثية

Question

اريد  جميع اشتقاقات الدوال المثلثيه العكسيه  مثل
sin^-1 , cos^-1 , tan^-1   .... etc
ايضا
sinh^-1 ,cosh^-1,tanh^-1   ..... etc
لأني ناسيها بصراحه وبحثت عنها لم اجدها ..

تحديث للسؤال برقم 1

شكرا لك اخي ابراهيم ..
اريد ايضا
sinh^-1 ,cosh^-1,tanh^-1   ..... etc
ليس ضروري الإثبات انما فقط المشتقه على طول ..

Answer 1

سأركز على اول خطوة، وباقى الخطوات لن اخوض
فيها كثيراً، نظراً لطولها ..
ص = جا^-1(س)  اى ان : س = جاص
نشتق الطرفين بالنسبة لـ س
1 = جتاص × دص/دس
اذاً : دص/دس = 1/جتاص
ولكن من المعلومة : س = جاص
علمنا ان جتاص = جذر(س² - 1)
من خلال مثلث فيثاغورث ..
الخلاصة : مشتقة الجيب العكسى (لأننى لم
اذكر باقى الخطوات بعدها )
                                     1
د/دس لـ جا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــ
                             جذر(1 - س²)
                                     - 1
د/دس لـ جتا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــ
                              جذر(1 - س²)
                                     1
د/دس لـ ظا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــ
                                س² + 1
                                    - 1
د/دس لـ ظتا^-1(س) = ــــــــــــــــــــــــ
                                 س² + 1
                                    1
د/دس لـ قا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ
                           س جذر(س² - 1)
                                    - 1
د/دس لـ قتا^-1(س) = ـــــــــــــــــــــــــــ
                            س جذر(س² - 1)

Answer 2

ابحث في جوجل اخي وثق بي ستجدها

Answer 3

معذرةً لابد ان اثبت لك واحدة على الأقل
ولتكن مشتقة معكوس الجيب الزائدى..
ص = جا^-1ز(س)
اذاً : س = جاز(ص)
نشتق الطرفين بالنسبة لـ س
1 = جتاز(ص) × دص/دس
من معلومة (1) نعلم ان :
س = جاز(ص)
ولكن هناك قانون مضمونه :
جتا²ز(س) - جا²ز(س) = 1
اذاً : جتا²ز(س) - س² = 1
جتا²ز(س) = س² + 1
جتاز(س) = جذر(س² + 1)
والحل السالب مرفوض لأن دالة جيب التمام
الزائدى دالة زوجية .. بالتعويض
1 = جتاز(ص) × دص/دس
1 = جذر(س² + 1) × دص/دس
اذاً :
                                     1
د/دس لـ جا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــــــ
                            جذر(س² + 1)
                                       1
د/دس لـ جتا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــــــ
                              جذر(س² - 1)
                                    1
د/دس لـ ظا^-1ز(س) = ـــــــــــــــــــ
                                1 - س²
                                    1
د/دس لـ ظتا^-1ز(س) = ــــــــــــــــــــ
                                1 - س²
                                              -1
د/دس لـ قا^-1ز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                         س(س+1)جذر[(1-س)/(1+س)]
                                         -1
د/دس لـ قتا^-1ز(س) = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
                              س² جذر(1 + 1/س² )