اثبت ان نها .... ( النهايات بالتفاضل ) ( 99 نقطة )

تم الرد عليه أكتوبر 9، 2015 بواسطة تاني (159,380 نقاط)

أفضل إجابة

اخى فوزى انا لم اضع لك اثباتا ً واحدا ً لأن جميعا اصلا بداخلها
تحتاج الى اثبات .. ما معنى كلامى ؟؟
هثبتلك مثلا ً بقاعدة متسلسلة القوى chain rule
اذا ً انت تحتاج اولا ً الى اثباتها حتى تثبت بها هذا القانون ..!
هثبتلك بنظرية ذات الحدين ؟؟ ايضا ً انت تحتاج الى اثبات نظرية
ذات الحدين حتى تثبت القانون اصلا ً ؟؟!!! وهكذا ....... !
لكن هذه الإثبات يحضر فى ذهنى الآن (( وهو اثبات صنعته من عندى
لكنه صحيح ان شاء الله ))
سأثبت لك هذا القانون بقاعدة chain rule وقاعدة لوبيتال ..
اذا ً انت تحتاج اولا ً الى اثبات كلا ً من القاعدتين حتى
تثبت بها هذا القانون .. اولا ً اثبات قاعدة chain rule
والتى تقول مشتقة س^ن = ن س^(ن-1)
حيث ن ثابت لا يساوى الصفر .. الآن تريد
برهان لهذه القاعدة ؟؟ ممكن نبرهنها بالاستقراء
الرياضيى .. اى بالملاحظة وتكرار الحدث ،،
ولكنها ايضا ً برغم ذلك تحتاج الى اثبات ...
لكن اثباتها متعلق باللوغاريتم الطبيعى .. اذا ً انت تحتاج الى
اثبات كيف جاء اللوغاريتم الطبيعى .... وهكذا .. لذلك لن ادخل
معك فى هذه المتاهات فقط يجب ان تتفق معى حاليا ً انه
عند اشتقاقنا لـ س^ن = ن س^(ن-1) حيث ن لا تساوى الصفر
هل تتفق معى على ذلك .. ؟؟؟
الآن نريد اثبات قاعدة لوبيتال .. والتى تنص على انه
فى حالة عدم تعيين النهايات يجوز ان نشتق كلا ً
من البسط والمقام على حدى ونعوض فيه قيمه س
التى تؤول اليها النهاية بسطا ً ومقاما ً واذا لم يتعين
الناتج نكرر نفس الخطوات الى ازالة عدم التعيين .
ما معنى هذا الكلام ؟؟

س² - 1
مثال : نهــــــــــــــــــــا ــــــــــــــــــــــــــ
س ← 1 س - 1
= 0/0 عدم تعيين .. الآن نتخلص من العامل الصفرى بتحليل البسط .
(س - 1 ) ( س + 1 )
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = س + 1
( س - 1 )
بالتعويض عن قيمة س = 1 اذا ً النهاية = 2
قاعدة لوبيتال : ممكن تضتق كلا ً من البسط والمقام (( على حدى ))
(( الحل بإستخدام لوبيتال ))
س² - 1
نهــــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــ
س ← 1 س - 1
اشتق البسط لوحده .. والمقام لوحده ..
2س - 0
= ــــــــــــــــــــــــــــ = 2 س عند س = 1 اذا ً النهاية = 2
1 - 0
وهو نفس الناتج ... ملحوظة نستخدم هذه القاعدة
فى حالة عدم التعيين فقط ))
الآن ننتقل الى اثبات قاعدة لوبيتال اولا ً لانها محور الأساس : -
ما معنى كلمة مشتقة ؟؟ الإجابة هى ميل المماس للمنحنى
عند نقطة .. وهى معدل التغير للدالة تكتب على هذا الشكل
د ( س ) - د ( أ )
ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س - أ
شرط س - أ تؤوول الى الصفر ..
الآن فى حالة عدم لتعيين عبارة عن بسط ومقام ؟؟
البسط = صفر والمقام = 0 لذلك كان الناتج صفر / صفر
الآن اجعل البسط دالة لوحدها والمقام دالة وحدها
اى اننا جعلنا الدالة دالتين .. ولتكن د(س) عند
نقطة ما وهى أ مثلا ً د ( أ ) = 0/0
الآن نريد ان نوجد النهاية عند أ عندما س ← أ
عندما س تسعى الى أ يعنى س - أ ← 0 اليس كذلك ؟؟
د(س) - د( أ )
نهــــــــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ
س← أ س - أ
عوض عند س = أ النهاية = 0/0 كمية غير معينة
هسألك سؤال سهل .. المقام ؟؟؟
البسط = ؟؟؟
بما ان المقام = 0 ، البسط = 0 نستغل هذه النقطة
فى تشكل كلا ً من البسط والمقام على حسب الهدف
الذى نريد الوصول اليه .. هل فهمت قصدى ؟؟
نفرض ان البسط د ( س ) وان المقام ر(س)
د(س) 0
ـــــــــــ = ــــــــــ
ر(س) 0
د(س) د( س ) - د ( أ )
ــــــــــــ = ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ر(س) ر ( س ) - ر ( أ )
وبضرب كلا ً من البسط والمقام فى س - أ
د ( س ) د( س ) - د ( أ ) ( س - أ )
ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ر ( س ) ( س - أ ) ر ( س ) - ر ( أ )
الا يذكرك بشىء كلا ً من البسط والمقام ؟؟
ما رأيك لو جعلناهم على هذا الشكل .. ؟؟!
د(س ) د( س ) - د ( أ ) س - أ
ــــــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ * ــــــــــــــــــــــــــــــــــ
ر(س) س - أ ر( س ) - ر ( أ )
عملية ضرب الأولى عبارة عن مشتقة البسط د(س)
والثانية عبارة ؟؟ عن مشتقة المقام لكنها مقلوبة ..!
سؤال .. لو عدلنها ( اى جعلنا البسط مقام والمقام
ماذا ً يحدث ؟؟ تتحول عملية الضرب الى قسمة ..!
اذا ً د(س) مشتقة د(س)
ـــــــــــ = ـــــــــــــــــــــــــــــ
ر(س) مشتقة ر(س)
د(س) 0
شرط ان تكون ـــــــــــ = ــــــــــــ اى تعطى عدم تعيين
ر ( س ) 0
الخلاصة اذا كانت هناك دالة عند التعويض فيها بنطقة تعطى
عدم تعيين نجعلها عبارة عن دالة بسط ومقام .. ونشتق
كلا ً من البسط والمقام على حدى ثم نعوض تعويض مباشر
تعطى نفس النتيجة صحيح ونكون قد ازلنا عدم التعيين ..
الآن بمعرفتنا بهذه القاعدة يكون من السهل جدا ً اثبات نظرية
4 فى التفاضل ..!

*** اثبات نظرية 4 فى التفاضل بأستخدام قاعدة لوبيتال ***
اذا كانت :
س^ن - أ ^ن 0
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــــــــــ
س ← أ س^م - أ^م 0
حيث أ ثابت ... اذا ً مشتقته = صفر
ن س^(ن-1) - 0
= ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
م س^(م-1 ) - 0
ن س^(ن-1 )
= ـــــــ . ـــــــــــــــــــــ
م س^(م-1 )
((((( فى القسمة اذا كانت الاساسات متشابهة نطرح الأسس )))))
ن س^(ن-1 )
= ـــــــ . ـــــــــــــــــــــ
م س^(م-1 )
ن
= ــــــــــ س ^[ (ن-1 ) - ( م - 1 ) ]
م

ن
= ــــــــ س ^ ( ن - 1 - م + 1 )
م
ن
= ـــــــــ س^ ( ن - م )
م
ات تعلم ان س ← أ ((( عوض تعويض مباشر عند س = أ )))
ن
= ـــــــــ * أ ^(ن-م )
م
اى ان :
س^ن - أ ^ن م
نهـــــــــــا ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــ = ـــــــ . أ^(م-ن)
س ← أ س^م - أ^م ن
(# هـ . ط . ث # )
....................................................................................
ملاحظات : هناك عدة اثباتات لهذا القانون انا اخترت الذى يحضرنى
حاليا ً .. ممكن تبرهنها بالتحليل والملاحظة ( استقراء رياضى )
ممكن ايضا ً بالقسمة المطولة ..اى انها لها أكثر من اثبات ..
هذا ما اعلم والله تعالى اعلى واعلم .

تم الرد عليه أكتوبر 19، 2015 بواسطة حمادة (153,490 نقاط)

تم الرد عليه أكتوبر 23، 2015 بواسطة آلاء (154,760 نقاط)

هذه نظرية 4 فى التفاضل .. ينبغى ان تعلم كيف جائت نظرية chain rule حتى
تعرف كيف تم استنتاج هذا القانون ... وهذا القانون له اكثر من اثبات.. ممكن برهان
بالتراجع .. بالنظرية الاساسية فى حساب التفاضل والتكامل ،، معادلات تفاضلية ..
ممكن بنظرية ذات الحدين،، ممكن حتى بالقسمة المطولة العادية ..!
لكن هى مشتقة من chain rule والتى تقول مشتقة س^ن = ن س^ن-1
حيث ن ثابت لا يساوى الصفر .. من هذه القاعدة والتى تم اثباتها عن طريق
معرفتنا ان الاس الطبيعى عند اشتقاقه يعطينا الدالة نفسها ، وكانت هذه
هى نقطة البداية، لذلك ابحث بنفسك عن القانون وستصل الى الاثبات الذى
يتناسب معك .

تم الرد عليه أكتوبر 27، 2015 بواسطة شذى (156,800 نقاط)

تم الرد عليه أكتوبر 28، 2015 بواسطة رمزي (156,260 نقاط)

تم الرد عليه أكتوبر 30، 2015 بواسطة لؤي (151,940 نقاط)

اثبت ان نها .... ( النهايات بالتفاضل ) ( 99 نقطة )

6 إجابة